Master theorem

Pokud platí, že ${\displaystyle f(n)={\mathcal {O}}\left(n^{\log _{b}\left(a\right)-\epsilon }\right)}$ pro nějaké ${\displaystyle \epsilon >0}$

tak:

${\displaystyle T(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\right).}$

${\displaystyle T(n)=8T\left({\frac {n}{2}}\right)+1000n^{2}}$

Z výše uvedené rovnice vidíme, že hodnoty jsou:

${\displaystyle a=8\,}$, ${\displaystyle b=2\,}$, ${\displaystyle f(n)=1000n^{2}\,}$, ${\displaystyle \log _{b}a=\log _{2}8=3\,}$

Nyní musíme zkontrolovat, zda platí:

${\displaystyle f(n)={\mathcal {O}}\left(n^{\log _{b}a-\epsilon }\right)}$

Po dosazení hodnot dostaneme:

${\displaystyle 1000n^{2}={\mathcal {O}}\left(n^{3-\epsilon }\right)}$

Pokud zvolíme ${\displaystyle \epsilon }$ = 1, dostaneme:

${\displaystyle 1000n^{2}={\mathcal {O}}\left(n^{3-1}\right)={\mathcal {O}}\left(n^{2}\right)}$

Protože rovnost platí, první případ master theoremu lze použít na danou rekurentní rovnost, čímž dostaneme:

${\displaystyle T(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\right).}$

Po dosazení hodnot:

${\displaystyle T(n)=\Theta \left(n^{3}\right).}$

Tedy pro daný rekurentní vztah T(n) je v Θ(n³).

(Tento výsledek byl potvrzen přesným řešením rekurentního vztahu, které je ${\displaystyle T(n)=1001n^{3}-1000n^{2}}$, za předpokladu ${\displaystyle T(1)=1}$.)

Pokud platí:

${\displaystyle \exists k\geq 0,f(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\log ^{k}n\right)}$

tak:

${\displaystyle T(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\log ^{k+1}n\right).}$

${\displaystyle T(n)=2T\left({\frac {n}{2}}\right)+10n}$

Z výše uvedené rovnice vidíme, že hodnoty jsou:

${\displaystyle a=2\,}$, ${\displaystyle b=2\,}$, ${\displaystyle k=0\,}$, ${\displaystyle f(n)=10n\,}$, ${\displaystyle \log _{b}a=\log _{2}2=1\,}$

Nyní ověříme, že následující rovnost platí (v tomto případě k=0):

${\displaystyle f(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\right)}$

Po dosazení dostaneme:

${\displaystyle 10n=\Theta \left(n^{1}\right)=\Theta \left(n\right)}$

Protože rovnost platí, druhý případ master theoremu lze aplikovat, čímž dostáváme:

${\displaystyle T(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\log n\right).}$

Po dosazení:

${\displaystyle T(n)=\Theta \left(n\log n\right).}$

Tedy pro daný rekurentní vztah T(n) je v Θ(n log n).

(Tento výsledek byl potvrzen přesným řešením rekurentního vztahu, které je ${\displaystyle T(n)=n+10n\log _{2}n}$, za předpokladu ${\displaystyle T(1)=1}$.)

Pokud platí:

${\displaystyle f(n)=\Omega \left(n^{\log _{b}a+\epsilon }\right)}$ pro nějaké ${\displaystyle \epsilon >0}$

a také platí:

${\displaystyle af\left({\frac {n}{b}}\right)\leq cf(n)}$ pro nějaké ${\displaystyle c<1}$ a dostatečně velké n

tak:

${\displaystyle T\left(n\right)=\Theta \left(f\left(n\right)\right).}$

${\displaystyle T(n)=2T\left({\frac {n}{2}}\right)+n^{2}}$

Z výše uvedené rovnice vidíme, že hodnoty jsou:

${\displaystyle a=2\,}$, ${\displaystyle b=2\,}$, ${\displaystyle f(n)=n^{2}\,}$, ${\displaystyle \log _{b}a=\log _{2}2=1\,}$

Nyní ověříme, že následující rovnost platí:

${\displaystyle f(n)=\Omega \left(n^{\log _{b}a+\epsilon }\right)}$

Pokud dosadíme hodnoty a zvolíme ${\displaystyle \epsilon }$ = 1, dostaneme:

${\displaystyle n^{2}=\Omega \left(n^{1+1}\right)=\Omega \left(n^{2}\right)}$

Protože rovnost platí, ověříme druhou podmínku, konkrétně, že:

${\displaystyle af\left({\frac {n}{b}}\right)\leq cf(n)}$

Opět dosadíme hodnoty:

${\displaystyle 2\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}}$${\displaystyle \leq cn^{2}\Leftrightarrow {\frac {1}{2}}n^{2}\leq cn^{2}}$

Pokud zvolíme ${\displaystyle c={\frac {1}{2}}}$, tak platí:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}n^{2}\leq {\frac {1}{2}}n^{2}}$ ${\displaystyle \forall n\geq 1}$

Tedy:

${\displaystyle T\left(n\right)=\Theta \left(f\left(n\right)\right).}$

Opět dosadíme hodnoty a dostaneme:

${\displaystyle T\left(n\right)=\Theta \left(n^{2}\right).}$

Tedy pro daný rekurentní vztah T(n) je v Θ(n²), což odpovídá f (n) v původním vzorci.

(Tento výsledek byl potvrzen přesným řešením rekurentního vztahu, které je ${\displaystyle T(n)=2n^{2}-n}$, za předpokladu ${\displaystyle T(1)=1}$.)