Martingale

Definujme jedno kolo jako posloupnost po sobě jdoucích proher následovaných výhrou nebo po sobě jdoucích proher, které vedou k bankrotu hráče. Pokud hráč vyhraje, hraje opět od základní částky a začíná tak další kolo. Takto definované kolo nám umožní rozdělit průběžné vkládání sázek na jednotlivá kola. Nyní budeme analyzovat očekávané výhry v jednom kole.

Nechť q je pravděpodobnost prohry (např. v americké ruletě s dvěma nulami při sázce na barvu, sudou-lichou, malou-velkou 20/38, v evropské 19/37). Nechť B je částka, kterou vkládáme jako první, a nechť n je počet sázek, které můžete v řadě prohrát, než zbankrotujete.

Pravděpodobnost, že prohrajete všech n sázek je qⁿ. Celková částka, kterou v tomto případě prohrajete je

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}B\cdot 2^{i-1}=B(2^{n}-1)}$

Pravděpodobnost, že neprohrajete všech n sázek je 1 − qⁿ. Pokud neprohrajete všech n sázek, pak vyhrajete částku B (první vložené peníze). Očekávaná výhra za toto jedno kolo je to, co v průměru vyhráváte, minus to, co v průměru prohráváte, tedy:

${\displaystyle (1-q^{n})\cdot B-q^{n}\cdot B(2^{n}-1)=B(1-(2q)^{n})}$

Kdykoliv je pravděpodobnost prohry q > 1/2, je výraz 1 − (2q)ⁿ < 0 pro všechna n > 0. To znamená, že v jakékoliv hře, ve které je větší pravděpodobnost prohry než výhry dané sázky (např. ruleta), v průměru v každém kole ztrácíte peníze. Navíc čím vícekrát jste ochotni vsadit, tím víc prohráváte.

Předchozí úvahy byly založeny na hledání očekávané hodnoty výhry či prohry, tedy vztahu mezi tím, jaká je pravděpodobnost, že prohrajeme, a kolik v tom případě prohrajeme. Můžeme k problému přistoupit i odjinud a ptát se, jaká je pravděpodobnost, že užitím martingalu nezbankrotujeme dříve, než zdvojnásobíme částku, s kterou jsme do kasina přišli.

Vezmeme-li v úvahu stejné podmínky jako výše, můžeme se ptát, jaká je pravděpodobnost šesti po sobě jdoucích proher, když sázíme jen na červenou/černou či sudou/lichou. Ačkoliv pravděpodobnost šesti po sobě jdoucích proher ze šesti roztočení je vcelku malá (2, 1256 %), s rostoucím počtem roztočení stoupá velmi rychle.

• Při 68 roztočeních je šance 50,3 %, že prohrajeme šestkrát v řadě.
• Při 150 roztočeních je šance 80,6 %, že prohrajeme šestkrát v řadě.
• Při 250 roztočeních je šance 95,3 %, že prohrajeme šestkrát v řadě.[1]

Abychom zdvojnásobili naši původní částku 6,300 s tím, že náš první vklad je 100 (jako výše), potřebovali bychom minimálně 63 roztočení (v extrémně nepravděpodobném případě, že bychom všech těchto 63 roztočení vyhráli napoprvé), maximálně 378 roztočení (ve stejně nepravděpodobné variantě, že vyhráváme každé kolo právě až při 6 roztočení). S velkou pravděpodobností budeme potřebovat kolem 150 roztočení. Nicméně již při 150 roztočeních máme pravděpodobnost šesti po sobě jdoucích proher 80,6 % (viz výše).

Klasické sázení na červenou a černou můžeme nahradit nějakými jinými hrami. Limitní případ nastává např. při házení mincí, kde mají obě dvě strany stejnou pravděpodobností hodnotu a pravděpodobnost prohry je tak stejná jako výhry (platíme-li za výhru dvojnásobek vsazeného, jedná se tedy o spravedlivou hru – takovou však v kasinech nenajdeme). Tam je při 150 roztočeních šance, že prohrajeme šestkrát za sebou, 70,7 %. V jakékoliv hře, kde je pravděpodobnost prohry větší než 50 %, je tedy i tato hodnota vyšší.

Naše úvahy byly založeny na šesti po sobě jdoucích prohrách. Ve větších kasinech lze sázet i větší částky a mohli bychom naše sázky po prohře zdvojnásobovat i vícekrát. Bez ohledu na to však pravděpodobnost zdvojnásobení naší částky dříve, než zbankrotujeme, zůstává stejná. Musíme totiž sice prohrát vícekrát než šestkrát v řadě, aby došlo k bankrotu, zrovna tak ale musíme hrát déle, abychom naše peníze zdvojnásobili.