Knuthův zápis

Základní matematické operace sčítání, násobení a umocňování jsou přirozeně rozšířeny do sekvence hyperoperací následujícím způsobem.

Násobení přirozeným číslem lze definovat jako opakované sčítání

${\displaystyle a\times b=\underbrace {a+a+\dots +a} _{b{\text{ opakování }}a}.}$

Příklad:

${\displaystyle 4\times 3=\underbrace {4+4+4} _{3{\text{ opakování }}4}=12}$

Umocňování na přirozený exponent ${\displaystyle b}$ lze definovat jako opakované násobení, což Knuth označil jednou šipkou vzhůru

${\displaystyle a\uparrow b=a^{b}=\underbrace {a\times a\times \dots \times a} _{b{\text{ opakování }}}.}$

Příklad:

${\displaystyle 4\uparrow 3=4^{3}=\underbrace {4\times 4\times 4} _{3{\text{ opakování }}4}=64}$

Zobecněním tohoto postupu za operaci umocňování vznikne tetrace, pro kterou zavedl Knuth operátor „dvojité šipky“,

${\displaystyle a\uparrow \uparrow b={\ ^{b}a}=\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} _{b{\text{ opakování }}a}=\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} _{b{\text{ opakování }}a}.}$

Příklady:

${\displaystyle 4\uparrow \uparrow 3={\ ^{3}4}=\underbrace {4^{4^{4}}} _{3{\text{ opakování }}4}=\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} _{3{\text{ opakování }}4}=4^{256}\approx 1,3\times 10^{154}}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7\,625\,597\,484\,987}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{7\,625\,597\,484\,987}}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7\,625\,597\,484\,987}}}$

Již "operátor dvou šipek" vede na velká čísla, ale Knuth notaci rozšířil. Definoval operátor „trojité šipky“ pro opakování operátoru „dvojité šipky“ neboli pentaci,

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{b{\text{ opakování }}a}=\underbrace {a\,\uparrow \uparrow \,(a\,\uparrow \uparrow \,(\dots \,\uparrow \uparrow \,a))} _{b{\text{ opakování }}a}.}$

Příklady:

${\displaystyle {\begin{aligned}3\uparrow \uparrow \uparrow 2&=3\uparrow \uparrow 3={}^{3}3=\\&=3\uparrow (3\uparrow 3)=3^{3^{3}}=3^{27}=7\,625\,597\,484\,987\\\end{aligned}}}$

Velikost čísel roste opravdu velmi rychle

${\displaystyle {\begin{aligned}3\uparrow \uparrow \uparrow 3&=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)={}^{{}^{3}3}3={}^{7\,625\,597\,484\,987}3=\\&=3\uparrow \uparrow (3\uparrow (3\uparrow 3))=\underbrace {3\uparrow (3\uparrow (\dots \uparrow 3))} _{3\uparrow (3\uparrow 3)=7\,625\,597\,484\,987{\text{ opakování }}3}=\underbrace {3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}} _{3\uparrow (3\uparrow 3){\text{ opakování }}3}\approx \exp _{10}^{7\,625\,597\,484\,987}(1.09902)\end{aligned}}}$

Následující číslo má v klasickém zápisu více než 10¹⁰²¹⁸⁴ číslic

${\displaystyle 5\uparrow \uparrow \uparrow 2=5\uparrow \uparrow 5={^{5}5}=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx 10^{10^{10^{10^{3.33928}}}}=\exp _{10}^{4}(3.33928)}$

Dále operátor "čtyř šipek",

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\,\uparrow \uparrow \uparrow \,(a\,\uparrow \uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow \uparrow \,a))} _{b{\text{ opakování }}a}}$

atd. Obecně je „${\displaystyle n}$-šipkový operátor“ sekvencí „(${\displaystyle n-1}$)-šipkových operátorů“. S využitím zápisu

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b=a\,\underbrace {\uparrow \uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n{\text{ šipek}}}\,b}$

vznikne

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b=a\,\underbrace {\uparrow \uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n{\text{ šipek}}}\,b\;=\;\underbrace {a\,\underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\,(a\,\underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\,(\dots \,\underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\,a))} _{b{\text{ opakování }}a}\;=\;\underbrace {a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n-1}(\ldots \uparrow ^{n-1}a))} _{b{\text{ opakování }}a}.}$

Základní operace lze vyjádřit pomocí Knuthova zápisu následovně:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}a\uparrow ^{0}b=a\times b&{\text{ (násobení),}}\\a\uparrow ^{1}b=a^{b}&{\text{ (umocňování),}}\\a\uparrow ^{2}b={}^{b}a&{\text{ (tetrace),}}\\a\uparrow ^{3}b=a\!\uparrow \uparrow \uparrow \!b&{\text{ (pentace),}}\end{array}}}$

atd.

Zjevnou nevýhodou je, že pro sčítání by bylo třeba zavést symbol ${\displaystyle \uparrow ^{-1}}$ (tj. ${\displaystyle a\uparrow ^{-1}b=a+b}$), který však evokuje inverzní operaci k ${\displaystyle \uparrow }$.

S tím souvisí i posunutí názvosloví vzhledem k počtu šipek použitých k označení operátoru (tetrace, pentace, tedy čtvrtá, resp. pátá operace jsou značeny pomocí dvou, případně tří šipek).

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Knuth's up-arrow notation na anglické Wikipedii.