Kinetická energie při rotaci

Ze skutečnosti, že energie rotujícího tělesa je dána součtem kinetických energií všech jeho částic (číslujeme horním indexem i), vyplývá, že celková energie tělesa bude

${\displaystyle E_{K}=\sum _{i}E_{K}^{i}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m^{i}(\mathbf {v} ^{i})^{2}}$

Pomůžeme si vyjádřením rychlosti, pro kterou pro těleso rotující kolem počátku platí

${\displaystyle \mathbf {v} ^{i}=\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} ^{i}}$

kde ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$ je vektor úhlové rychlosti a ${\displaystyle \mathbf {r} ^{i}}$ je polohovým vektorem i-té částice.

Dosadíme a získáme

${\displaystyle E_{K}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m^{i}(\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} ^{i})^{2}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m^{i}\left(\mathbf {\omega } ^{2}(\mathbf {r} ^{i})^{2}-(\mathbf {\omega } \cdot \mathbf {r} ^{i})^{2}\right)}$

Tento výraz lze zapsat i ve složkách a to takto:

${\displaystyle E_{K}=\sum _{i,k,l}{\frac {1}{2}}m^{i}\left(\delta _{kl}(r^{i})^{2}-r_{k}^{i}r_{l}^{i}\right)\omega _{k}\omega _{l}}$

Využijeme-li definice tenzoru momentu setrvačnosti ${\displaystyle I_{kl}}$

${\displaystyle I_{kl}=\sum _{i}m^{i}\left(\delta _{kl}(r^{i})^{2}-r_{k}^{i}r_{l}^{i}\right)}$,

lze pak energii rotujícího tělesa vyjádřit v kompaktním tvaru:

${\displaystyle E_{K}={\frac {1}{2}}\sum _{kl}I_{kl}\,\omega _{k}\omega _{l}}$

Protože je tenzor setrvačnosti symetrický existuje vždy taková soustava souřadnic, ve které je diagonální. Jeho složky na diagonále v této soustavě označme ${\displaystyle J_{x}}$, ${\displaystyle J_{y}}$, ${\displaystyle J_{z}}$, pak tedy platí:

${\displaystyle E_{K}={\frac {1}{2}}(J_{x}\omega _{x}^{2}+J_{y}\omega _{y}^{2}+J_{z}\omega _{z}^{2})}$

Kde ${\displaystyle \omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}}$ jsou složky vektoru úhlové rychlosti v této soustavě.

Často se zajímáme pouze o rotaci vůči pevné ose, tedy ose jejíž poloha se v tělese nemění. V tomto případě definujeme skalární moment setrvačnosti ${\displaystyle J}$ vůči této ose jako

${\displaystyle J=\sum _{kl}I_{kl}n_{k}n_{l}}$,

kde ${\displaystyle \mathbf {n} =(n_{1},n_{2},n_{3})}$ je jednotkový vektor mířící do směru osy. Tato definice se po dosazení za jednotlivé částice dá zapsat i jako

${\displaystyle J=\sum _{i}m^{i}(s^{i})^{2}}$,

kde ${\displaystyle s^{i}}$ je vzdálenost i-té částice od osy rotace.

Použitím definice ${\displaystyle J}$ má pak výraz pro kinetickou energii velmi jednoduchý tvar

${\displaystyle E_{K}={\frac {1}{2}}J\omega ^{2}}$.

Je tedy zřejmé, že ${\displaystyle J}$ představuje analogii hmotnosti při rotaci kolem pevné osy.

• Rotace
• Moment setrvačnosti