Havlův algoritmus

Algoritmus vychází z následující věty:

Nechť ${\displaystyle S=(d_{1},\ldots ,d_{n})}$ je konečný nerostoucí soubor nezáporných celých čísel a ${\displaystyle n>1}$. Potom soubor ${\displaystyle S}$ nazveme kreslitelným právě tehdy, když konečný soubor čísel ${\displaystyle S'=(d_{2}-1,d_{3}-1,\ldots ,d_{d_{1}+1}-1,d_{d_{1}+2},\ldots ,d_{n})}$ je kreslitelný a obsahuje pouze nezáporná čísla.

Pokud chceme dokázat, že je soubor ${\displaystyle S}$ kreslitelný, použijeme maximálně ${\displaystyle n-1}$ krát předchozí větu. Jelikož se může stát, že soubor ${\displaystyle S'}$ nebude nerostoucí, je potřeba soubor ${\displaystyle S'}$ před dalším použitím předchozí věty nejdříve seřadit.

Algoritmus končí ve chvíli, kdy soubor ${\displaystyle S'}$ v nějakém kroku obsahuje samé nuly.

Konstrukce grafu pomocí Havlova algoritmu probíhá tak, že v každém kroku algoritmu přidáme mezi uzly ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ nové hrany. Konkrétně pokud je možné transformovat soubor ${\displaystyle S}$ na ${\displaystyle S'}$, pak do grafu přidáme hrany ${\displaystyle \{v_{1},v_{2}\},\{v_{1},v_{3}\},\ldots ,\{v_{1},v_{d_{1}+1}\}}$. Tím v grafu budeme mít všechny požadované hrany pro vrchol ${\displaystyle v_{1}}$ a v dalším kroku tak pracujeme již jen s o 1 menším počtem vrcholů.

Jestliže v libovolném kroku není možné ${\displaystyle S}$ transformovat na ${\displaystyle S'}$, pak věta dokazuje, že původní soubor ${\displaystyle S}$ není kreslitelný.