Fresnelovy rovnice

Fresnelovy rovnice (případně Fresnelovy vzorce) udávají intenzitu odraženého a lomeného světla.

Pokud nedochází k úplnému odrazu, určitá část nepolarizovaného světla se od optického prostředí (vody, skla, atd.) odráží, zatímco zbývající část do prostředí vstupuje a lomí se.

Hodnoty koeficientů odrazu záleží na polarizaci dopadajícího světla. Rozlišujeme polarizaci s a p. Při s polarizaci je vektor elektrické intenzity dopadajícího světla kolmý na rovinu dopadu, v případě p polarizace je naopak součástí této roviny. Rovinou dopadu nazýváme rovinu, která obsahuje všechny tři paprsky (dopadající, lomený a odražený).

Zajímavostí p polarizace je skutečnost, že při určitém úhlu, Brewsterově úhlu, se všechno světlo lomí, intenzita odraženého svazku je v tomto případě nulová.

Nechť jsou indexy lomu prostředí ${\displaystyle n_{1},n_{2}}$ (světlo vstupuje prostředím o indexu ${\displaystyle n_{1}}$). Dále označme postupně ${\displaystyle \theta _{i},\theta _{r},\theta _{t}}$ úhel dopadu, odrazu a lomu. Platí mezi nimi Snellův zákon ${\displaystyle n_{1}\sin(\theta _{i})=n_{2}\sin(\theta _{t})}$. Pak pro koeficienty odrazu (reflexe) ${\displaystyle R_{s},R_{p}}$ platí:

${\displaystyle R_{s}=\left[{\frac {n_{1}\cos(\theta _{i})-n_{2}\cos(\theta _{t})}{n_{1}\cos(\theta _{i})+n_{2}\cos(\theta _{t})}}\right]^{2}=\left[{\frac {n_{1}\cos(\theta _{i})-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}}{n_{1}\cos(\theta _{i})+n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}}}\right]^{2}}$

${\displaystyle R_{p}=\left[{\frac {n_{1}\cos(\theta _{t})-n_{2}\cos(\theta _{i})}{n_{1}\cos(\theta _{t})+n_{2}\cos(\theta _{i})}}\right]^{2}=\left[{\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}-n_{2}\cos(\theta _{i})}{n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}+n_{2}\cos(\theta _{i})}}\right]^{2}}$

Koeficienty udávají poměr intenzity odraženého a dopadajícího svazku. Pokud nás naopak zajímá, kolik světla prošlo, tedy koeficient ${\displaystyle T}$ (transmise), pak jej určíme jako ${\displaystyle T=1-R}$ pro každou z polarizací.

Pokud na rozhraní navíc dopadá světlo ideálně nepolarizované, tak celkový reflexní koeficient může být určen jako

${\displaystyle R={\frac {R_{s}+R_{p}}{2}}}$

Speciálním případem je pak situace kdy světlo dopadá na rozhraní kolmo, tedy v případech, kdy všechny úhly ${\displaystyle \theta _{i},\theta _{r},\theta _{t}}$ jsou nulové. Fresnelovy rovnice pak nezávisí na polarizaci a nabývají tvaru.

${\displaystyle R_{p}=\left[{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right]^{2}=R_{s}=R}$

S využitím předchozího výrazu pro nepolarizované světlo.