Fermatovo číslo

Fermatovým číslem se v matematice rozumí takové přirozené číslo, které je rovno

pro nějaké přirozené číslo . Svoje jméno tato čísla získala podle matematika Pierra de Fermata, který je zkoumal jako jeden z prvních.

Prvních devět Fermatových čísel je:

F0=21+1=3
F1=22+1=5
F2=24+1=17
F3=28+1=257
F4=216+1=65 537
F5=232+1=4 294 967 297
=641 × 6 700 417
F6=264+1=18 446 744 073 709 551 617
=274 177 × 67 280 421 310 721
F7=2128+1=340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 457
=59 649 589 127 497 217 × 5 704 689 200 685 129 054 721
F8=2256+1=115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 937
=1 238 926 361 552 897 × 93 461 639 715 357 977 769 163 558 199 606 896 584 051 237 541 638 188 580 280 321

V roce 2008 byl znám prvočíselný rozklad pouze prvních dvanácti Fermatových čísel F0F11.[1]

Fermatova prvočísla

Fermat věřil, že všechna Fermatova čísla jsou prvočísla (takovým číslům se pak zkráceně říká Fermatovo prvočíslo). To bylo vyvráceno v roce 1732 Leonhardem Eulerem. Euler dokázal, že dělitel čísla Fn musí mít podobu k2n+2 + 1. Pro tedy stačí zkoušet dělit čísly 128k + 1 a Euler objevil, že

V rozporu s Fermatovým očekáváním se dodnes (2008) nepodařilo objevit žádná další Fermatova prvočísla kromě F0, F1, F2, F3 a F4, která znal už Fermat. Vzhledem k tomu, jak rychle Fermatova čísla rostou, se o Fermatových číslech pro velká n mnoho neví a pojí se k nim následující otevřené problémy:

  • jsou všechna Fermatova čísla Fn pro složená?
  • existuje nekonečně mnoho Fermatových složených čísel?
  • existuje nekonečně mnoho Fermatových prvočísel?

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Fermat number na anglické Wikipedii.

  1. (anglicky) Wilfrid Keller, „Prime Factors of Fermat Numbers“ Archivováno 10. 2. 2016 na Wayback Machine. Staženo 2008-09-07.

Externí odkazy

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.