Dirichletova beta funkce

Dirichletova beta funkce je definována (za předpokladu Re(s) > 0) jako:

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},}$

nebo ekvivalentně

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.}$

Funkci lze analyticky rozšířit na celou komplexní rovinu:

${\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos {\frac {\pi s}{2}}\,\beta (1-s),}$

kde Γ(s) je gama funkce.

${\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle \beta (1)\;=\;\mathrm {arctg} (1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},}$

${\displaystyle \beta (2)\;=\;0,915965594177219015\ldots }$  má speciální název Catalanova konstanta,

${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},}$

${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},}$

${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}}.}$

• (anglicky) Dirichletova beta funkce na serveru MathWorld