Burgersova rovnice

Nevazká Burgersova rovnice je parciální diferenciální rovnicí prvního řádu. Její řešení může být zkonstruováno pomocí metody charakteristik. Tato metoda říká, že pokud je ${\displaystyle X(t)}$ řešením obyčejné diferenciální rovnice

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} X(t)}{\mathrm {d} t}}=u[X(t),t],}$

pak

${\displaystyle U(t):=u[X(t),t]}$

je konstantní vzhledem k ${\displaystyle t}$. Tudíž ${\displaystyle [X(t),U(t)]}$ je řešením soustavy obyčených diferenciálních rovnic:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} X}{\mathrm {d} t}}=U,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}=0.}$

Řešení této soustavy je vyjádřeno pomocí počáteční hodnoty výrazem:

${\displaystyle \displaystyle X(t)=X(0)+tU(0),}$

${\displaystyle \displaystyle U(t)=U(0).}$

Při substituci ${\displaystyle X(0)=\eta }$, kdy platí ${\displaystyle U(0)=u[X(0),0]=u(\eta ,0)}$, můžeme zapsat soustavu ve tvaru

${\displaystyle \displaystyle X(t)=\eta +tu(\eta ,0)}$

${\displaystyle \displaystyle U(t)=U(0).}$

Celkově:

${\displaystyle \displaystyle u(\eta ,0)=U(0)=U(t)=u[X(t),t]=u[\eta +tu(\eta ,0),t].}$

Toto je implicitní vztah určující řešení nevazké Burgesovy rovnice za předpokladu, že se jednotlivé charakteristiky vzájemně neprotínají. Pokud k průniku charakteristik dojde, pak neexistuje klasické řešení rovnice.

Vazká Burgersova rovnice může být linearizována Coleovou–Hopfovou transformací [2]

${\displaystyle u=-2\nu {\frac {1}{\phi }}{\frac {\partial \phi }{\partial x}},}$

z čehož dostáváme rovnici tvaru

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}{\frac {1}{\phi }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}{\Bigr )}=\nu {\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}{\frac {1}{\phi }}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}{\Bigr )},}$

která může být přepsána jako

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+f(t)\phi ,}$

kde ${\displaystyle f(t)}$ je libovolná funkce. Pokud poslední člen vymizí, obdržíme difuzní rovnici

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}.}$

Můžeme tedy řešit počáteční úlohu:

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln {\Bigl \{}(4\pi \nu t)^{-1/2}\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\Bigl [}-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}u(x'',0)\mathrm {d} x''{\Bigr ]}\mathrm {d} x'{\Bigr \}}.}$