Betzovo pravidlo

Betzovo pravidlo zformuloval Albert Betz při studiu teorie větrem poháněných strojů. Pravidlo odvozuje, jaká maximální množství energie lze získat pomocí rotoru z média, pohybujícího se zadanou rychlostí. Pro odvození maximální účinnosti takového stroje (například větrné turbíny) lze vycházet z představy, že médium se pohybuje ve formě válce s průřezem rovným průřezu disku rotoru a výškou odpovídající rychlosti průtoku média.

Nechť v₁ je rychlost média nabíhajícího na rotor a v₂ rychlost média za rotorem. Průměrná rychlost média vzhledem k disku rotoru bude v_avg, kde

${\displaystyle v_{\rm {avg}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (v_{1}+v_{2})}$

Jestliže je plocha disku rotoru rovna S, a ρ je hustota média, bude hmotnostní tok média diskem za jednotku času roven:

${\displaystyle {\dot {m}}=\rho \cdot S\cdot v_{\rm {avg}}={\frac {\rho \cdot S\cdot (v_{1}+v_{2})}{2}}}$

Odvedená práce bude rovna rozdílu kinetických energií média nabíhajícího na rotor a média opouštějícího rotor:

${\displaystyle {\dot {E}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\dot {m}}\cdot (v_{1}^{2}-v_{2}^{2})}$

${\displaystyle ={\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot S\cdot (v_{1}+v_{2})\cdot (v_{1}^{2}-v_{2}^{2})}$

${\displaystyle ={\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot S\cdot v_{1}^{3}\cdot (1-({\frac {v_{2}}{v_{1}}})^{2}+({\frac {v_{2}}{v_{1}}})-({\frac {v_{2}}{v_{1}}})^{3})}$.

Na vodorovnou osu je vynesen poměr rychlostí média před a za rotorem ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {v_{2}}{v_{1}}}\end{matrix}}}$, svislá osa ukazuje průběh součinitele výkonnosti C_p.

Derivací ${\displaystyle {\dot {E}}}$ podle ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {v_{2}}{v_{1}}}\end{matrix}}}$ pro dané rychlosti v₁ a daný průměr disku rotoru S získáme extrém funkce${\displaystyle {\dot {E}}}$. Výsledkem je hodnota maxima ${\displaystyle {\dot {E}}}$ pro ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\frac {1}{3}}\end{matrix}}}$.

Po dosazení této hodnoty je zřejmé, že:

${\displaystyle E_{\rm {max}}={\begin{matrix}{\frac {16}{27}}\cdot {\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot S\cdot v_{1}^{3}}$.

Práce, kterou může odevzdat médium s rychlostí v₁ rotoru o průřezu S (tedy „válec“) bude rovna:

${\displaystyle E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot S\cdot v_{1}^{3}}$.

„Součinitel výkonnosti“ C_p (= ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {E_{\rm {max}}}{E}}\end{matrix}}}$) dosahuje maxima pro: C_p.max = ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {16}{27}}\end{matrix}}}$ = 0,593, tedy 59,3 %

Rotory reálných zařízení (například větrných turbín) vykazují další ztráty energie, které jejich účinnost dále snižují. Moderní zařízení proto dosahují hodnot C_p v rozsahu od 0,4 do 0,5, tedy 70 až 80 % teoreticky možných.