Čechova kohomologie

Nechť ${\displaystyle X}$ je topologický prostor, ${\displaystyle {\mathcal {U}}=(U_{j})_{j\in J}}$ otevřené pokrytí ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ je svazek abelovských grup nad ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle i}$ je libovolné nezáporné celé číslo.

Definujme ${\displaystyle C^{i}(X,{\mathcal {F}})=\prod _{(j_{0},\ldots ,j_{i})\in J^{i}}{\mathcal {F}}(U_{j_{0}}\cap \ldots \cap U_{j_{i}}).}$ Sčítání definujeme po složkách, tj. ${\displaystyle (f_{0}^{a},\ldots ,f_{i}^{a})+(f_{0}^{b},\ldots ,f_{i}^{b})=(f_{0}^{a}+f_{0}^{b},\ldots ,f_{i}^{a}+f_{i}^{b}).}$ S touto operací je ${\displaystyle C^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ abelovská grupa. Pokud a je element ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U_{j_{0}}\cap \ldots \cap U_{j_{i}})}$ pro nějaké ${\displaystyle (j_{0},\ldots ,j_{i})\in J^{i+1}}$, označíme tento fakt na symbolické úrovni pomocí ${\displaystyle a=a_{j_{0}\ldots j_{i}}.}$ (Nejedná se o definici konkrétního prvku.)

Definujme homomorfismus ${\displaystyle \delta ^{i}:C^{i}(X,{\mathcal {F}})\to C^{i+1}(X,{\mathcal {F}})}$ předpisem ${\displaystyle \delta ^{i}(a)=\sum _{j=0}^{i+1}(-1)^{j}a_{(i_{0}\ldots {\hat {i_{j}}}\ldots i_{i+1})}.}$ Lze ověřit, že ${\displaystyle \delta ^{i+1}\delta ^{i}=0}$, tj. že ${\displaystyle \delta ^{i}}$ je tzv. kořetězcové zobrazení (komplexů abelovských grup) popřípadě tzv. gradovaný diferenciál.

Pak ${\displaystyle i}$-tá Čechova kohomologická grupa ${\displaystyle {\check {H}}^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ pro ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ je faktorgrupa ${\displaystyle {\frac {{\mbox{Ker}}(\delta ^{i})}{{\mbox{Im}}(\delta ^{i-1})}}.}$

Definice má smysl, neboť ${\displaystyle {\mbox{Im}}(\delta ^{i-1})\subseteq {\mbox{Ker}}(\delta ^{i}),}$ jak plyne z ${\displaystyle \delta ^{i}\delta ^{i-1}=0.}$

Navíc, jelikož je ${\displaystyle C^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ abelovská, je její každá podgrupa normální, a proto je i podíl grupou, a to grupou abelovskou.

• Elementy ${\displaystyle C^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ se nazývají kořetězce.
• Homomorfismus ${\displaystyle \delta ^{i}}$ se nazývá Čechův kodiferenciál.
• Elementy z ${\displaystyle {\mbox{Ker}}(\delta ^{i})}$ nazýváme kocykly.
• Elementy z ${\displaystyle {\mbox{Im}}(\delta ^{i-1})}$ nazýváme kohranice.

Předpona „ko“ se dodává zejména z toho důvodu, že diferenciál zobrazuje ${\displaystyle C^{i}(X,{\mathcal {F}})\to C^{i+1}(X,{\mathcal {F}})}$ . (V případě „opačného směru“ by se předpona „ko“ vynechávala.)

Čechovy kohomologické grupy definoval český matematik Eduard Čech. Na jeho počest se v jejich označení objevuje diakriticismus: háček nad písmenem H.

Pokud X je parakompaktní, lze ukázat, že Čechova kohomologická grupa nezávisí na výběru pokrytí ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ O tom, jak Čechovu kohomologii v některých případech počítat, nás informuje tzv. Lerayova věta o dobrém pokrytí pro Čechovu kohomologii.

Tzv. deRhamova věta dává do souvislosti Čechovu kohomologickou grupu a deRhamovu grupu kompaktní diferencovatelné variety. Tato věta zní.

Nechť ${\displaystyle X}$ je kompaktní diferencovatelná varieta a ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ je svazek lokálně konstantních reálných funkcí na ${\displaystyle X}$. Pak existuje izomorfismus abelovských grup ${\displaystyle H_{dR}^{i}(X,\mathbb {R} )}$ a ${\displaystyle {\check {H}}^{i}(X,{\mathcal {R}})}$.

Zatímco deRhamova kohomologická grupa dle definice zachycuje informaci o uzavřených diferencovatelných formách, které nejsou exaktní, a tak se do jisté míry vyjadřuje k řešení lineárních parciálních diferenciálních rovnic na hladkých varietách, Čechova kohomologie se na základě své definice zdá spíše objektem kombinatorického rázu, a proto je deRhamova věta pokládána za překvapivé tvrzení.