Čebyševova nerovnost

Čebyševovou nerovností I. typu označujeme tvrzení, že pro libovolnou nezápornou náhodnou veličinu ${\displaystyle X\,\!}$ se střední hodnotou ${\displaystyle \operatorname {E} (X)\,\!}$ je pravděpodobnost, že veličina ${\displaystyle X\,\!}$ nabude alespoň hodnoty ${\displaystyle \varepsilon \,\!}$ dána podmínkou

${\displaystyle P(X\geq \varepsilon )\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{\varepsilon }}\,\!}$

pro všechna ${\displaystyle \varepsilon >0\,\!}$. (Tato nerovnost se někdy v literatuře označuje jako Markovova.)

Pro libovolnou náhodnou veličinu ${\displaystyle X\,\!}$ se střední hodnotou ${\displaystyle \operatorname {E} (X)\,\!}$ a rozptylem ${\displaystyle D(X)\,\!}$ je pravděpodobnost, že absolutní hodnota ${\displaystyle |X-\operatorname {E} (X)|\,\!}$ nabude hodnoty menší než libovolné ${\displaystyle \varepsilon >0\,\!}$ omezena Čebyševovou nerovností II. typu

${\displaystyle P(|X-\operatorname {E} (X)|<\varepsilon )\geq 1-{\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}\,\!}$

nebo také

${\displaystyle P(|X-\operatorname {E} (X)|<\varepsilon \cdot \sigma )\geq 1-{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}\,\!}$

kde ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {D(X)}}}$